的“顶点”去表示“极限序数”,而本章是用四个类型的顶点去表示“顶点”的“类型”。
定义计算器或计数器:φ(0)=“表示极限序数”,φ(1)=“表示顶点类型”,……)
([([()])])对应于上一章的((((|)|)|)|)
([])则超越上一章hydra的一切。
当最右边的头部是的时候,它的归约仍然遵循“e_0增长率的简单hydra”的规则。关键的地方仍是“最右边的头部是”的情况。
现在讲这个新hydra的定义。
根顶点用表示,其它顶点分成两种:白顶点(用表示)、黑顶点(用表示)。
在这个hydra中,根顶点的子顶点、根顶点的子顶点的子顶点都必须是白顶点。
归约规则:用a[n]=b[n+1]表示“第n步操作a归约成b”
1、[n]=[n+1],其中a是括号表达式序列
2、[n]=[n+1],其中有n+1个“{a}”,其中a、p…z是括号表达式序列,z只含右括号,{}可能是或者
3、最右边的头部是的情况,设h=(qy)是它的最近白色祖先,即q…y是括号表达式序列且不含包裹这个的白色顶点,y只含右括号
[n]=[n+1],其中括号表达式(a(rhx))小于(qhy),a、r…x、p…z是括号表达式序列,x、z只含右括号
[n]=[n+1],其中等号右边有n+1个“(r”,括号表达式(rhx)大于等于(qhy),r…x、p…z是括号表达式序列,x、z只含右括号
比较规则:
(a)<[b]
如果a含有至少一个括号表达式,那么<(a)
如果h
如果(a)<(b),那么[a]<[b]
归约规则也可以这么说。
在第n步中,
1~2、如果最右边的头部是白色头部x,那么设它的父顶点是y,去掉x。如果y不是根顶点,那么设y的父顶点是z,把t_y复制n遍,都附加到原hydra上,使得那些t_y的根顶点是z的子顶点。
3、如果最右边的头部是黑色头部x,那么找到它的最近白色顶点y,再找到y的最近“小于y”的顶点z。这里设一个“界限”:把t_y中的x换成t_y,得到界限。
如果z小于界限,那么找到z的“使得y是u的子孙”的最近白色子孙顶点u,把t_u换成原t_y,再把t_y中的x换成t_u。
如果z大于等于界限,那么重复n遍“把t_y换成t_z”,最后去掉t_y。
注意的添层规则中,添加层只能发生在一个白色顶点与它的父顶点之间,而不可发生在一个黑色顶点与其父顶点之间。
比较规则:
(a)<[b]
如果a含有至少一个括号表达式,那么<(a)
如果h
如果(a)<(b),那么(ha)<(hb)
如果(a)<(b),那么[a]<[b]
也就是说,黑色顶点总是大于白色顶点。
同色顶点比较,就从左到右比它们的子顶点。
不说顶点,应该是括号表达式(子树)
在中,首先看最右边头部:是黑色,于是找到它的最近白色顶点:([]),它的“界限”是([([])])。
继续找([])的最近“小于([])”的祖先,得([([])])。它小于界限,因此要用添层规则。
添层规则发生在([])外(而不是[([])]外!),于是最终hydra变成了
一般说来,在一个白色顶点内(在一个内),
添加一个黑色子顶点就意味着它的“类型”增加了1
添加一个[]就是类型增加了w
添加一个[]就是类型增加了w^2
添加一个[()]就是类型增加了w^w
添加一个[(())]就是类型增加了
添加一个[(())]就是类型增加了e_0
如果对应的序数是α,那么在白色顶点内添加子树[a]就是类型增加了w^α。
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