阿列夫2同样如此,并且包含阿列夫1。
如果是{阿列夫n:n∈10},取并集就还只是阿列夫10,因为阿列夫123456789中没有超出阿列夫10的元素,
序数的定义就是,a属于a,a就是a的子集,元素都属于a。
所以,阿列夫w作为集合该怎么定义?对x用并集公理是写作ux。
被启示者:阿列夫wu阿列夫n=阿列夫w,n∈w。
——……也行,不过n一般是表示自然数,所以u{阿列夫wxn:n∈w}也是可以的,取并集的话,你跳重点的阿列夫wxn就够了,更多其它元素都不会有什么增长,
不过的确,极限基数的一般定义是:
如果a是极限序数,则阿列夫a=u{阿列夫b:b∈a}
后继基数的情况则是,阿列夫a+1=h(阿列夫a)。
这里可以看得出即使是对于w这个集宇宙中最小的无限,也依旧是严格按照不存在边界限制来对待的,所有涉及超限序数的定义都需要提供极限阶段和后继阶段两套定义,而现在,你脑中能乍一下想到的相当大的基数是什么?
被启示者:阿列夫阿列夫……阿列夫0。
——你这个写法不存在,无限没有尽头,所以你这是一个叠了有些次的阿列夫数?不过确实也就是这样大,
而到现在为止,我们遭遇的阿列夫a都有一个共同特点,那就是阿列夫a大于a,
比如阿列夫0大于0,阿列夫1大于1,阿列夫阿列夫1大于阿列夫1,差距是越来越大。
那么在一个由所有序数构成的序列中,这个序列是否能足够长,以至于其中会出现这样的序数a,使得a就是第a个阿列夫数?
来,写出符合这个条件的集合。
提示:得到阿列夫w的过程,和极限基数的定义。
被启示者:w_a=a,h(a)≤a。
——h(a)≤a这是矛盾式,这里的大都是在谈序数大,而基数也不可能,h(a)就是跳到下一个基数。
阿列夫w的时候,我们得到的是阿列夫1,阿列夫2,阿列夫3,……
而现在,我们能得到:
{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……}。
我且问你,假设阿列夫a=u{阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},那么这个阿列夫a的a有多大?
被启示者:a={0,阿列夫0,阿列夫阿列夫0,……}。
——为什么?如果某个阿列夫b大于阿列夫w,那么它就至少是第w个无穷基数之和的基数,比如阿列夫w+n之类的。被启示者:阿列夫a={阿列夫0,阿列夫阿列夫0,阿列夫阿列夫阿列夫0,……},等号左右两边各去掉一个阿列夫……
——我说你有看懂吗?
被启示者:大
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